Un lettore che ha acquistato Progettazione geotecnica e strutturale delle fondazioni mi ha inviato tramite la sezione contatti una domanda che, nella pratica professionale, ricorre spesso:
“Il calcolo dei cedimenti con la teoria di Boussinesq/Steinbrenner per telai in cemento armato a travi rovesce rigide o semi-rigide – tendenzialmente alte, su terreni deformabili argilloso-limosi – tende a sovrastimare i cedimenti differenziali. Esiste un modo per ottenere una stima più precisa, senza dover ricorrere a una modellazione FEM che coinvolga contemporaneamente terreno e struttura?”
La risposta è sì, ed è già interamente contenuta nel capitolo 7 del testo citato (a firma congiunta con l’ing. Paolo Petrella). Vale la pena ripercorrerla, perché il problema nasconde in realtà due questioni distinte: una di impostazione del calcolo elastico, l’altra di interazione terreno-struttura vera e propria.
Il primo controllo: quale formula si sta usando?
Prima ancora di parlare di rigidezza, va verificato che il calcolo dei cedimenti utilizzi la formula di Steinbrenner (1934) specifica per le travi rovesce (eq. 3.29-3.30 del libro), e non quella per i plinti isolati (eq. 3.23-3.24). Una trave rovescia trasmette un carico continuo, non puntiforme, dal momento che, a parità di pressione di contatto, dissipa lo sforzo più rapidamente in profondità e produce cedimenti minori rispetto a quelli che si otterrebbero sommando i cedimenti calcolati come se ogni pilastro gravasse su un plinto isolato indipendente. Se la sovrastima nasce a questo livello, va corretta qui, prima ancora di affrontare la rigidezza della trave.
Perché il metodo elastico puro sovrastima i cedimenti differenziali
Il metodo di Boussinesq/Steinbrenner calcola il cedimento nel continuo elastico sommando per sovrapposizione i contributi dei singoli carichi, trattando implicitamente la fondazione come un supporto perfettamente cedevole; in questo caso, il cedimento in ogni punto viene calcolato come se il carico locale gravasse su un elemento libero di seguire fedelmente la deformazione del terreno, senza tenere conto della rigidezza flessionale della trave che collega i pilastri.
Una trave rovescia alta, rigida o semi-rigida, si oppone invece a questa curvatura con la conseguenza che dove il terreno tende a cedere di più (sotto il pilastro più caricato, o in una zona localmente più deformabile) la trave redistribuisce parte del carico verso i tratti limitrofi meno ceduti. Il profilo di cedimento reale si “appiattisce” rispetto alla deformata teorica del carico flessibile, avvicinandosi a una traslazione più una rotazione rigida. Si tratta, in pratica, del classico effetto di interazione terreno-struttura, che prevede che più la fondazione è rigida rispetto al terreno più il cedimento differenziale reale è inferiore a quello ottenuto sommando cedimenti elastici calcolati sui carichi “congelati” del calcolo strutturale.
Misurare la rigidezza relativa: l’indice KR di Fraser e Wardle
Nel libro affrontiamo il problema attraverso l’indice di rigidezza relativa fondazione-terreno proposto da Fraser e Wardle (1976). Per fondazioni rettangolari, come le travi rovesce, di lato minore B vale la seguente relazione (eq. 7.4):
KR = (4/3)·(Ef/E′)·[(1−ν′²)/(1−νf²)]·(t/B)³
Ef e νf sono il modulo elastico e il coefficiente di Poisson del materiale della fondazione, E′ e ν′ quelli del terreno, t lo spessore della trave e B il suo lato minore. Per KR ≥ 10 la fondazione è da considerarsi rigida; per KR ≤ 0,05 si comporta come una trave flessibile; i valori intermedi individuano un comportamento semi-rigido, per il quale il cedimento differenziale reale è intermedio fra quello “flessibile” calcolato con Boussinesq/Steinbrenner puro e quello, quasi nullo, di una fondazione infinitamente rigida.
Va notato che l’equazione (7.4) mostra come, a parità di caratteristiche del materiale da costruzione e di dimensioni della fondazione, la rigidezza relativa diminuisca al crescere del modulo elastico del terreno; in sintesi, più il terreno è deformabile, come nel caso argilloso-limoso descritto, più è probabile che una trave “tendenzialmente alta” ricada davvero nel campo rigido o semi-rigido, ed è proprio in questo campo che il calcolo Boussinesq/Steinbrenner puro si allontana di più dalla realtà (figura 1).
Figura 1. Con proporzioni realistiche di una trave rovescia (t/B ≈ 0,2–0,4, coerenti con gli esempi utilizzati nel libro), sul terreno cedevole l’indice supera la soglia rigida (KR ≥ 10) a partire da t/B ≈ 0,143; poiché quasi tutte le travi “tendenzialmente alte” tendono a ricadere in questo intervallo, è proprio in questo caso che il calcolo Boussinesq/Steinbrenner puro sovrastima i cedimenti differenziali. Sulla roccia, per lo stesso intervallo, KR resta ordini di grandezza più basso, con la conseguenza che la trave si comporta da semi-rigida o flessibile anche per spessori importanti, e la correzione diventa trascurabile. I due punti posti in corrispondenza dell’intersezione tra la linea verticale passante per t/B = 0,3 (caso tipico) e le due curve relative al terreno e alla roccia rende visivamente immediato il confronto: stessa trave, comportamento opposto.
Un modello intermedio: la trave su suolo elastico alla Winkler
Se il calcolo di KR conferma un comportamento rigido o semi-rigido, il passo successivo, ancora lontano da un FEM 2D/3D che tratta in maniera più completa l’interazione terreno-struttura, può essere quello di modellare la trave come elemento su suolo elastico alla Winkler. Nel libro riproponiamo un modello a “macroelementi finiti” il quale, sviluppato nel testo Introduzione al metodo degli elementi finiti, deriva la matrice di rigidezza del terreno con metodi energetici a partire dall’equazione differenziale della linea elastica (al libro sono allegati fogli excel che consentono di risolvere il problema in termini di andamento dei cedimenti, del momento e del taglio):
d⁴s/dx⁴ + 4λ⁴s = V/(EJ), con λ = ⁴√(kv·B / 4EJ)
La lunghezza caratteristica 1/λ discrimina il comportamento: 1) per L < π/(4λ) la trave si comporta da rigida; 2) per L > π/λ risulta essere flessibile. Una regola pratica che indichiamo nel libro è che l’intera trave rovescia dovrebbe essere modellata come un unico elemento finito, poiché suddividerla in più elementi introdurrebbe una rigidezza fittizia e falserebbe il risultato.
Resta da stimare la costante di Winkler kv. Nel libro indichiamo due strade coerenti tra loro: A) la formula di Viggiani (2002), kw = k1·[(m+0,5)/(1,5m)] (eq. 7.50, con i coefficienti k1 tabulati per litologia); B) il retro-calcolo di kv dal cedimento elastico in forma chiusa per travi rovesce [cap. 9, eq. 9.25, secondo Tsytovich (1976)], più aderente al caso in esame, che parte già da un calcolo elastico Boussinesq/Steinbrenner. In questo modo la molla equivalente eredita la stessa comprimibilità stratigrafica del calcolo elastico di partenza, invece di provenire da tabelle empiriche generiche.
In sintesi
La sequenza corretta, senza dovere ricorrere a un FEM 2D/3D d’interazione terreno-struttura, è: 1) verificare di usare la formula di Steinbrenner per travi rovesce, non quella per plinti isolati; 2) calcolare l’indice di rigidezza relativa KR di Fraser e Wardle per capire se la trave è realmente rigida, semi-rigida o flessibile; 3) se il comportamento è rigido o semi-rigido, risolvere la trave come singolo elemento finito su suolo elastico alla Winkler, con la costante kv ricavata da Viggiani o retro-calcolata dallo stesso cedimento elastico già utilizzato in partenza. Il risultato è una stima dei cedimenti differenziali coerente con la reale rigidezza della struttura, ottenuta con gli strumenti della teoria elastica classica e senza la complessità (e l’onere) di un modello accoppiato terreno-struttura completo. Le figure 2 e 3 illustrano un esempio di calcolo ottenuto con il modello a macroelementi finiti citato.
Figura 2. Esempio di deformata di una trave rovescia calcolata con il modello a macroelementi finiti
Figura 3. Momenti flettenti e taglio nella trave rovescia di figura 2 calcolati con il modello a macroelementi finiti
Romolo Di Francesco e Paolo Petrella
Bibliografia
Di Francesco R., 2012. Introduzione al metodo degli elementi finiti (volume I della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0126-8, pp 238
Di Francesco R., Petrella P., 2021. Progettazione geotecnica e strutturale delle fondazioni. Dario Flaccovio Editore, pp 400
Altri riferimenti
Fraser R.A, Wardle L.J., 1976. Numerical Analysis of Rectangular Rafts on Layered Foundation. Geotechnique, vol. 26, n. 4, pp. 613-630.
Steinbrenner, 1934. Tafeln zur Setzungsberechnung. Die Strass.
Tsytovich N., 1976. Soil Mechanics. Mir Publishers, Moscow.
Viggiani C., 2002. Fondazioni. Hevelius Edizioni, Benevento.