PARTE 3 di 3 – LA ROTTURA E I MODELLI DI PLASTICITA’
Quando l’acciaio si rompe: la meccanica della frattura di Griffith
La meccanica della frattura moderna nasce nel 1920 dal lavoro di A.A. Griffith alla Royal Aircraft Establishment di Farnborough, in Inghilterra, per essere completata da G. Irwin nel 1958 e nel 1960. L’idea di fondo è energetica: ogni materiale possiede un proprio lavoro di frattura W, l’energia necessaria per generare due nuove superfici a partire da un solido integro, per cui l’energia totale richiesta per creare una fessura di lunghezza L cresce linearmente con L (Uc = 2 x W x L). L’energia di deformazione che si libera durante la propagazione della fessura, invece, cresce con il quadrato di L, con la conseguenza che, superata una certa lunghezza critica Lg, l’energia liberata supera quella necessaria a propagare la fessura e la rottura diventa spontanea e incontrollabile (figura 1).
Figura 1. Modalità di liberazione dell’energia di deformazione associata alla formazione ed alla propagazione di una fessura secondo la teoria di Griffith (da Gordon, 1991, ridisegnata)
Poiché la lunghezza critica dipende dalle proprietà del materiale e dal livello di sforzo applicato ma non dalle dimensioni dell’oggetto, il coefficiente di sicurezza nei confronti della rottura per frattura ha, da solo, un valore poco significativo: quello che conta è il rapporto tra le dimensioni dell’elemento strutturale e la lunghezza critica delle fessure che vi si possono formare. Da qui una conseguenza pratica di grande interesse ingegneristico: per oggetti di dimensioni medio-grandi, come le navi, conviene usare acciai dolci, dotati di un elevato lavoro di frattura anche a fronte di una resistenza a trazione relativamente modesta; con tensioni di esercizio di 100 MPa la lunghezza critica delle fessure risulta di circa 0,67 m, mentre a 50 MPa sale a circa 2,67 m, valori comunque dell’ordine del metro e, pertanto, gestibili con normali ispezioni periodiche. Gli acciai ad alta resistenza, al contrario, hanno un lavoro di frattura molto più basso risultando essere adatti solo a oggetti di piccole dimensioni, sempre ben al di sotto della loro lunghezza critica di fessurazione.
Figura 2. Lavoro di frattura e resistenza a trazione di alcuni materiali comuni: si noti come l’acciaio dolce abbia il lavoro di frattura più alto in assoluto, a fronte di una resistenza a trazione modesta (fonte: Gordon, 1991, modificata).
Il motivo di questa differenza è, ancora una volta, legato alle dislocazioni viste nella seconda parte dell’articolo: negli acciai dolci, i vincoli interni sono modesti e le dislocazioni sono libere di propagarsi, coinvolgendo un volume di materiale via via crescente (le cosiddette bande di Luders) e disperdendo così l’energia di frattura su una regione ampia; negli acciai ad alta resistenza, gli stessi vincoli interni che ne aumentano la resistenza statica impediscono la formazione delle bande di Luders, concentrando invece la tensione in un volume molto più ristretto fino a ridurre drasticamente il lavoro di frattura disponibile. Un caso storico noto legato a questi concetti, che riguarda il primo aereo di linea a reazione della storia, è quello del de Havilland Comet, precipitato nel 1954 in seguito all’innesco di una frattura da concentrazione di sforzo nella fusoliera: un incidente che, insieme al lavoro pionieristico di Griffith, contribuì a fondare la moderna meccanica della frattura come disciplina ingegneristica a sé stante.
L’acciaio come modello della plasticità: il criterio di Tresca
Nella storia della scienza delle costruzioni l’acciaio ha svolto anche un ruolo meno visibile ma altrettanto importante: quello di banco di prova per i primi criteri di rottura in campo plastico, formulati dai cosiddetti “plasticisti dell’Ottocento”. Nel 1872 Henri Tresca propose il criterio di snervamento oggi noto con il suo nome, valido per l’acciaio, con la rottura che risulta essere governata unicamente dallo sforzo di taglio massimo, indipendentemente dalla componente isotropa dello stato tensionale.
Figura 3. Prova di compressione cilindrica sull’acciaio dolce: da uno stato tensionale isotropo (a) a uno stato deviatorico a rottura (b), fino al criterio di Tresca nel piano invariante q-p (c).
In una prova di compressione cilindrica su un provino di acciaio dolce (figura 3), partendo da uno stato di sforzo isotropo e incrementando progressivamente la componente deviatorica, il criterio di Tresca si scrive semplicemente come sigma1 – sigma3 = Y, dove Y è la tensione di snervamento legata alla resistenza al taglio non drenata (nota come coesione non drenata cu) dalla relazione Y = 2su: una relazione che nei volumi successivi della collana “la Geotecnica del III millennio” torna sistematicamente a proposito delle argille.
Pochi decenni più tardi, nel 1900 Mohr, riprendendo i concetti di Coulomb, propose invece il criterio adatto al calcestruzzo (in seguito esteso proficuamente ai terreni, figura 4), non più dipendente dal solo sforzo di taglio ma dalla combinazione di una componente coesiva c’ e di una componente d’attrito proporzionale allo sforzo normale (tan phi’).
Figura 4. La stessa prova condotta sul calcestruzzo: la rottura deviatorica (a-b) conduce al criterio di Mohr-Coulomb, con coesione c’ e angolo d’attrito phi’, nel piano invariante q-p (c).
Tra i due legami costitutivi esiste una coincidenza importante, tutta matematica: ponendo phi’ = 0 nel criterio di Mohr-Coulomb questo degenera esattamente nel criterio di Tresca. Non si tratta però di un’equivalenza fisica, dal momento che il comportamento dei due materiali resta governato da meccanismi completamente diversi, con scorrimenti plastici lungo i piani reticolari nell’acciaio e deformazione conforme al solido di Poisson (contrazione verticale con dilatazione trasversale) nel calcestruzzo. Ma è proprio questa coincidenza matematica a giustificare, nella pratica geotecnica, l’assimilazione del comportamento delle argille normalconsolidate in condizioni non drenate (a breve termine, costituente la condizione più critica per una fondazione) a quello di un acciaio dolce equivalente, adottando come parametro di resistenza la coesione non drenata che nell’acciaio corrisponde dalla tensione di snervamento.
Un materiale, tante lezioni
Il filo che lega gli argomenti sommariamente trattati nelle tre parti dell’articolo, quali la storia industriale, i diagramma di fase, le dislocazioni, la fatica, la frattura ed il criterio di Tresca, non è stato un capriccio enciclopedico, ma il modo in cui, nei miei libri, ho scelto di introdurre progressivamente il lettore ai concetti della meccanica dei materiali prima di affrontare quelli, assai più complessi, della meccanica delle terre. L’acciaio, con la sua struttura cristallina ordinata e il suo comportamento relativamente prevedibile, rappresenta il materiale ideale per introdurre concetti come la duttilità, la plasticità, l’incrudimento e la rottura in un contesto semplice, per poi ritrovarli – trasformati, complicati, ma sempre riconoscibili – nel comportamento assai meno (apparentemente) ordinato dei terreni.
Per gli approfondimenti fisico-matematici non posso che invitarvi all’acquisto dei mie libri.
Bibliografia essenziale
I miei libri
Di Francesco R., 2012. Introduzione al metodo degli elementi finiti (volume I della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0126-8, pp 238
Di Francesco R., 2012. Introduzione alla Meccanica del Continuo (volume II della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0157-2, pp 439
Di Francesco R., 2013. Introduzione alla Meccanica delle Terre, Parte I: Geologia dei terreni, idraulica e stati di sforzo (volume III della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0178-7, pp 520
Di Francesco R., 2014. Manuale avanzato di Meccanica delle Terre (volume IV della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0298-2, pp 735
Di Francesco R., 2019. Meccanica delle strutture geologiche e geotecniche (volume V della collana “Geotecnica del terzo millennio”). Dario Flaccovio Editore, Palermo. ISBN 978-88-579-0605-8, pp 397
Altre fonti citate
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Immagine di copertina ritagliata dalla Fig. 8a di Liu T., Xia S., Bai Q., Zhou B., Lu Y., Shoji T., “Evaluation of Grain Boundary Network and Improvement of Intergranular Cracking Resistance in 316L Stainless Steel after Grain Boundary Engineering“, Materials 2019, 12(2), 242. CC BY 4.0 — https://doi.org/10.3390/ma12020242